Une famille d'entiers divisibles par 7 - Corrigé

Énoncé

Déterminer les entiers relatifs $n$ tels que $n^2+3n-5$ soit divisible par $7$ .

Solution

On fait un tableau de congruences modulo $7$ .
$\begin{array}{r}\begin{array}{|cccccccc|}\hline n\equiv ...[7]& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ n^2\equiv ...[7]& 0& 1& 4& 9\equiv 2& 16\equiv 2& 25\equiv 4& 36\equiv 1\\ 3n...[7]& 0& 3& 6& 9\equiv 2& 12\equiv 5& 15\equiv 1& 18\equiv 4\\ n^2+3n-5\equiv ...[7]& -5& -1& 5& -1& 0& -2& -2\\ \hline\end{array}\end{array}$   

Ainsi, pour tout $n\in \mathbb{Z}$ , $n^2+3n-5$ est divisible par $7$ si, et seulement si, $n$ est de la forme $n=7k+4$ avec $k\in \mathbb{Z}$ .