Une famille d'entiers divisibles par 7 - Corrigé

Énoncé

Déterminer les entiers relatifs \(n\) tels que \(n^2+3n-5\) soit divisible par \(7\) .

Solution

On fait un tableau de congruences modulo \(7\) .
\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n \equiv ... \ [7]& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline n^2 \equiv ... \ [7]& 0 & 1 & 4 & 9 \equiv 2 & 16 \equiv 2 & 25 \equiv 4 & 36 \equiv 1\\ \hline 3n ... \ [7]& 0 & 3 & 6 & 9 \equiv 2 & 12 \equiv 5 & 15 \equiv 1 & 18 \equiv 4\\ \hline n^2+3n-5 \equiv ... \ [7]& -5 & -1 & 5 & -1 & 0 & -2 & -2\\ \hline\end{array}\end{align*}\)   

Ainsi, pour tout \(n \in \mathbb{Z}\) , \(n^2+3n-5\) est divisible par \(7\) si, et seulement si, \(n\) est de la forme \(n=7k+4\) avec \(k \in \mathbb{Z}\) .